Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若，求k的值；
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有．

Answer 1

【答案】分析：说明：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．
解答：解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为．（3分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故．（5分）
若，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是，
化简得-4k²+1=0，所以．（8分）
（Ⅲ）因为A（x₁，y₁）在椭圆上，所以满足y²=4（1-x²），y₁²=4（1-x₁²），=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）=．
因为A在第一象限，故x₁＞0．由知x₂＜0，从而x₁-x₂＞0．又k＞0，
故，
即在题设条件下，恒有．（12分）
点评：本题考查椭圆方程的运用以及直线与椭圆的位置关系，难点在与计算量较大，平时应加大训练的力度与方向性．