Question

已知函数，其中a，b∈R
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)当a＞0，且a为常数时，若函数h(x)＝x[g(x)＋1]对任意的x₁＞x₂≥4，总有成立，试用a表示出b的取值范围；
(3)当时，若对x∈[0，＋∞)恒成立，求a的最小值.

Answer 1

(1)；(2)时，，时，；(3)1

试题分析：(1)利用导数判断出函数的单调性，即可求出的最小值；(2)解决本题的关键是由“对任意的x₁＞x₂≥4，总有成立”得出“在上单调递增”，从而再次转化为导函数大于0的问题求解；(3)通过构造函数，转化为对恒成立，于是转化为求在上的最大值问题求解.解题过程中要注意对参数的合理分类讨论.
试题解析：(1)∵，令，得
∴在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增
∴在处取得最小值
即；        4分
(2)由题意，得在上单调递增
∴在上恒成立
∴在上恒成立        5分
构造函数
则
∴F(x)在上单调递减，在上单调递增
(i)当，即时，F(x)在上单调递减，在上单调递增
∴
∴，从而        7分
(ii)当，即时，F(x)在(4，＋∞)上单调递增
，从而        8分
综上，当时，，时，；     9分
(3)当时，构造函数

由题意，有对恒成立
∵
(i)当时，
∴在上单调递增
∴在上成立，与题意矛盾.        11分
(ii)当时，令
则，由于
①当时，，在上单调递减
∴，即在上成立
∴在上单调递减
∴在上成立，符合题意        12分
②当时，
∴在上单调递增，在上单调递减
∵
∴在成立，即在成立
∴在上单调递增
∴在上成立，与题意矛盾     13分
综上，a的最小值为1           14分