Question

如图，已知椭圆+=1（a＞0）上两点A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），x轴上两点M（1，0），N（-1，0）．
（1）若tan∠ANM=-2，tan∠AMN=，求该椭圆的方程；
（2）若=-2，且0＜x₁＜x₂，求椭圆的离心率e的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据tan∠ANM=-2，tan∠AMN=，得直线AM和AN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点A的坐标，根据A在椭圆上，求得a，进而求得椭圆方程可得．
（2）利用向量的坐标公式得出，的坐标，结合条件=-2得出坐标间的关系，又根据A，B两点的坐标适合椭圆方程得出x₁-2x₂=-a²，从而建立建立a的不等关系，求得a的取值范围，即可解得椭圆的离心率e的取值范围．
解答：解：（1）由题意得，直线AN的斜率k₁=tan∠ANM=-2，AM的斜率k₂=-tan∠AMN=-，
所以直线AN的方程为y=-2（x+1），同理直线AM的方程为：y=-（x-1），
联立两直线方程，解得点A的坐标为（-，），
因为A在椭圆上，所以+=1，a²=5，
∴该椭圆的方程+=1；
（2）=（x₁-1，y₁），=（x₂-1，y₂），
∵若=-2，∴即．
又∵+=1①；+=1②；
∴①-②×4得：（x₁+2x₂）（x₁-2x₂）=-3a²，
∴x₁-2x₂=-a²，从而x₁=（3-a²），x₂=（3+a²），
∵0＜x₁＜x₂，∴（3-a²）＞0，（3-a²）＜（3+a²），
解得：1＜a＜，
e²=∈（，），
∴e∈（，），
∴椭圆的离心率e的取值范围（，）．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．