Question

已知数列{a_n}中，a₁=cosθ，a₂=cos2θ，且a_n=（n≥2）.

（1）求a₃，a₄，a₅，由此推出a_n表达式；

（2）证明表达式的正确性.

Answer 1

（1）解：由a₂=，得a₃=2cosθcos2θ－cosθ=cos3θ+cosθ－cosθ.

∴a₃=cos3θ.

由a₃=，得a₄=2cosθ·cos3θ－cos2θ=cos4θ+cos2θ－cos2θ.

∴a₄=cos4θ.

由a₄=，得a₅=2cosθ·cos4θ－cos3θ=cos5θ+cos3θ－cos3θ.

∴a₅=cos5θ.

由此推得a_n=cosnθ.

（2）证明：用数学归纳法证明a_n=cosnθ（n∈N^*）.

当n=1，2时，a₁=cosθ，a₂=cos2θ，命题成立.

假设n=k（k≥2）时，命题成立，即a_k=coskθ.

对n=k+1，a_k=，得

a_k+1=2cosθ·a_k－a_k－1

=2cosθ·coskθ－cos（k－1）θ

=cos（k+1）θ+cos（k－1）θ－cos（k－1）θ

=cos（k+1）θ.

∴n=k+1时，命题成立.

由上可知，对一切自然数n∈N^*，命题成立.