Question

（2009•荆州模拟）已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx-cos2ωx+

1

2

（ω＞0，x∈R）的最小正周期为

π

2

．
（1）求f（x）的解析式，并写出函数f（x）图象的对称中心的坐标；
（2）当x∈[

π

4

，

π

2

]时，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和两角和的正弦公式对解析式化简，由三角函数的周期公式和题意求出ω的值，再由正弦函数的对称中心求出函数图象的对称中心坐标；
（2）由x的范围求出4x-

π

6

的范围，再由正弦函数的减区间求出4x-

π

6

对应的区间，再求出x 的对应的区间即可．

解答：解：（1）由题意得，f(x)=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)，
∵函数的最小正周期为

π

2

，∴

2π

2ω

=

π

2

，解得ω=2，
∴f(x)=sin(4x-

π

6

)，
由4x-

π

6

=kπ（k∈z）得，x=

π

24

+

kπ

4

（k∈z），
∴f（x）图象的对称中心的坐标（

π

24

+

kπ

4

，0）（k∈z），
（2）当x∈[

π

4

，

π

2

]时，4x-

π

6

∈[

5π

6

，

11π

6

]，
当4x-

π

6

∈[

5π

6

，

3π

2

]时，函数f（x）是减函数，
即当x∈[

π

4

，

π

2

]时，
函数f（x）的单调递减区间是[

π

4

，

5π

12

]．

点评：本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质综合应用，考查了的知识点较多，需要熟练掌握．