Question

选修4-5；不等式选讲．
当n＞2时，求证：log_n（n-1）log_n（n+1）＜1．

Answer 1

分析：由n＞2，可得lo

g

(n-1) n

＞0，lo

g

(n+1) n

＞0，且lo

g

(n-1) n

≠lo

g

(n+1) n

，再利用基本不等式即可证明．

解答：解：∵n＞2，∴lo

g

(n-1) n

＞0，lo

g

(n+1) n

＞0，且lo

g

(n-1) n

≠lo

g

(n+1) n

，
∴lo

g

(n-1) n

×lo

g

(n+1) n

＜(

lo g (n-1) n +lo g (n+1) n

2

)2=(

lo g (n2-1) n

2

)2＜(

lo g n2 n

2

)2=(

2

2

)2=1，
∴当n＞2时，log_n（n-1）log_n（n+1）＜1．

点评：本题考查了对数函数的性质和基本不等式的应用，深刻理解以上知识及放缩法是解决问题的关键．