Question

已知函数y=ax²+b|x|+c（a≠0）在其定义域内有四个单调区间，且a，b，c∈{-2，-1，0，1，2，3，4}，在这些函数中，设随机变量ξ=“|a-b|的取值”，则ξ的数学期望Eξ为（　　）

• A、4
• B、

  29

  5

• C、

  2

  5

• D、

  8

  9

Answer 1

分析：要使函数在R上有四个单调区间，则在（-∞，0）和[0，+∞）内各有两个单调区间，据此利用组合数公式求得抛物线条数，写出ξ分布列即可．

解答：解：函数y=ax²+b|x|+c（a≠0）在其定义域R内是偶函数，
关于y轴对称，且y=

ax2+bx+c(x≥0) ax2-bx+c(x＜0)

，
要使函数在R上有四个单调区间，则在（-∞，0）和[0，+∞）内各有两个单调区间，
故-

b

2a

＞0即对称轴在y轴右侧，这样的抛物线有2 C₂¹C₄¹C₇¹=112条，由ξ=|a-b|，
可知ξ可取的值有2，3，4，5，6，得P(ξ=2)=

2×7

112

，P(ξ=3)=

4×7

112

，P(ξ=4)=

4×7

112

，P(ξ=5)=

4×7

112

，P(ξ=6)=

2×7

112

，Eξ=2×

2×7

112

+3×

4×7

112

+4×

4×7

112

+5×

4×7

112

+6×

2×7

112

=

2×7

112

×(2+6+8+10+6)=4，
故选A．

点评：本题考查圆锥曲线、排列组合与概率统计的综合应用．本题关键是懂得利用组合数公式求得抛物线条数，写出ξ分布列即可．