Question

已知函数f(x)=ax-

a

x

-2lnx（a≥0）．
（1）当a=1时，判断函数f（x）在其定义域内是否存在极值？若存在，求出极值，若不存在，说明理由；
（2）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=x-

1

x

-2lnx（x＞0），知f′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

≥0，由此能判断f（x）在在其定义域内是否存在极值．
（2）f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能够求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=x-

1

x

-2lnx（x＞0），
∴f′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

≥0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴f（x）无极值．
（2）f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
①a=0时，f′(x)=-

2

x

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递减；
②a＞0时，f（x）在（0，+∞）上只可能单调递增，
∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即ax²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立，
∵当x＞0时，

2x

x2+1

≤1，
∴a≥1．
综合上述a的取值范围是[1，+∞）∪{0}．

点评：本题考查函数的极值是否存在，考查函数的单调性的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．