Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是双曲线上的一点，若，则=________．

Answer 1

0
分析：根据△PF₁F₂中PO是中线，得到向量等于向量、和的一半，结合已知条件可得向量的长度等于5，然后根据双曲线方程计算出双曲线的焦距等于10，从而得到△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形，得到向量、互相垂直，结合数量积的公式可得=0．
解答：∵F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点
∴△PF₁F₂中，PO是中线
∴向量=（）
∵
∴
∵双曲线中，a²=9，b²=16
∴?F₁F₂=10
∴△PF₁F₂中，中线PO等于F₁F₂的一半
∴△PF₁F₂是以P为直角三角形，且∠F₁PF₂=90°
∴
故答案为：0
点评：本题以双曲线中的向量问题为载体，着重考查了双曲线的基本概念、向量的数量积和直角三角形的判定等知识点，属于中档题．