Question

函数f（x）与g(x)=(

1

2

)x互为反函数，则f（x-3x²）的单调递增区间是

(

1

6

，

1

3

)

．

Answer 1

分析：先求出反函数f（x），通过换元求出f（x-3x²）=log

1

2

（x-3x²），确定此函数的定义域，然后在定义域的前提条件下根据x-3x²的单调性以及复合函数的单调性可求出所求．

解答：解：∵函数f（x）与g(x)=(

1

2

)x互为反函数，
∴f（x）=log

1

2

^x，
∴f（x-3x²）=log

1

2

（x-3x²），
由x-3x²＞0得0＜x＜

1

3

，即定义域为 （0，

1

3

），
x∈（0，

1

6

），x-3x²单调递增，此时f（x-3x²）=log

1

2

（x-3x²）单调递减；
x∈（

1

6

，

1

3

）时，x-3x²单调递减此时 f（x-3x²）=log

1

2

（x-3x²）单调递增．
∴f（x-3x²）的单调递增区间为(

1

6

，

1

3

)
故答案为：(

1

6

，

1

3

)

点评：本题主要考查反函数的求法，以及复合函数的单调性，体现了整体的数学思想，定义域是单调区间的前提，属于基础题．