Question

【题目】对于函数的定义域为，如果存在区间，同时满足下列条件：

①在上是单调函数；

②当的定义域为时，值域也是，则称区间是函数的“区间”.对于函数.

（1）若，求函数在处的切线方程；

（2）若函数在上存在“区间”，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1） 若，则，，求出切线斜率，代入点斜式方程，可得答案；
（2） 结合函数存在“区间”的定义，分类讨论满足条件的a的取值范围，综合讨论结果，可得答案.

解：（1）时，，，

则，

∴函数在处的切线方程为，即；

（2）时，，在区间单调递增，在区间单调递减

设函数在上存在“区间”是，

（i）当时，由题意可知，即，

转化为与在有两个交点，

设，，

当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

所以有，

解得；

（ii）当时，由题意可知，，两式相减得，，此式不可能成立，所以此时不存在“区间”.

综上所述，函数在上存在“区间”的的取值范围是.