Question

已知两点P（-2，2）、Q（0，2）以及一条直线l:y=x，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.

Answer 1

解:如图，∵线段AB在直线l:y=x上，且线段AB的长为,?

∴设M（x，y），A(t，t)，B(t+1，t+1)(t为参数)，则直线PA的方程为y-2=(x+2)(t≠-2),                                                                  ①?

直线QB的方程为y-2= x(t≠-1).                                  ②?

∵M(x，y)是直线PA、QB的交点,?

∴x、y是由①②组成的方程组的解,由①②消去参数t，得x²-y²+2x-2y+8=0?③

当t=-2时，PA的方程为x=-2，QB的方程为3x-y+2=0，?

此时的交点为M（-2，-4）.?

当t=-1时，QB的方程为x=0，PA的方程为3x+y+4=0，

此时的交点为M(0，-4).?

经验证，点(-2，-4)和(0，-4)均满足方程③.?

故点M的轨迹方程为x²-y²+2x-2y+8=0.

点评:由于长为的线段AB在直线l上移动，故只需借助参数表示出A、B的坐标，从而得直线PA、QB的方程，而M是这两直线的交点，消去参数即得交点的轨迹方程.