Question

已知的是奇函数．
（I）求a的值；
（II）若关于x的方程f^-1（x）=m•2^-x有实解，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）当函数为奇函数时，定义域必关于原点对称，先带着a求出函数的定义域，再根据定义域左右端点互为相反数，求出a的值．
（II）法一：先求出f^-1（x），化简f^-1（x）=m•2^-x，把m用含x的式子表示，再用均值不等式求最值即可．
法二：同法一，先化简f^-1（x）=m•2^-x，在看成关于t的一元二次方程，原方程有实解，等价于关于t的一元二次方程有正实解，在据此求出m的范围．
解答：解：（I）由
∵f（x）为奇函数，∴a-2=-a⇒a=1．
经验证可知：a=1时，f（x）是奇函数，a=1为所求 
（II）∵，∴．
法一：由f^-1（x）=m•2^-x得：
所以m的取值范围是
法二：原方程即（2^x）²-（m+1）2^x-m=0设2^x=t，则t²-（m+1）t-m=0
原方程有实解，等价于方程t²-（m+1）t-m=0有正实解 
令g（t）=t²-（m+1）t-m则
所以m的取值范围是
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及一元二次方程根的判断．