Question

已知f(x)=log2

a-2-x

x-a

的是奇函数．
（I）求a的值；
（II）若关于x的方程f^-1（x）=m•2^-x有实解，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当函数为奇函数时，定义域必关于原点对称，先带着a求出函数的定义域，再根据定义域左右端点互为相反数，求出a的值．
（II）法一：先求出f^-1（x），化简f^-1（x）=m•2^-x，把m用含x的式子表示，再用均值不等式求最值即可．
法二：同法一，先化简f^-1（x）=m•2^-x，在看成关于t的一元二次方程，原方程有实解，等价于关于t的一元二次方程有正实解，在据此求出m的范围．

解答：解：（I）由

a-2-x

x-a

＞0得：a-2＜x＜a
∵f（x）为奇函数，∴a-2=-a⇒a=1．
经验证可知：a=1时，f（x）是奇函数，a=1为所求 
（II）∵f(x)=log2

1+x

1-x

，∴f-1(x)=

2x-1

2x+1

．
法一：由f^-1（x）=m•2^-x得：

m= (2x)2-2x 2x+1 = (2x+1)2-3(2x+1)+2 2x+1 =(2x+1)+ 2 2x+1 -3≥2 2 -3. 当且仅当x=log2( 2 -1)时，mmin=2 2 -3

所以m的取值范围是[2

2

-3，+∞)
法二：原方程即（2^x）²-（m+1）2^x-m=0设2^x=t，则t²-（m+1）t-m=0
原方程有实解，等价于方程t²-（m+1）t-m=0有正实解 
令g（t）=t²-（m+1）t-m则g(0)＜0或

g(0)=0 m+1 2 ＞0

或

g(0)＞0 △=(m+1)2+4m≥0 m+1 2 ＞0

⇒m＞0或m=0或2

2

-3≤m＜0
所以m的取值范围是[2

2

-3，+∞)

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及一元二次方程根的判断．