Question

在数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}前n项和，a₁=1，当n≥2时，2S_nS_n-1=-a_n
（I）求证：数列{

1

Sn

}是等差数列；
（II）设bn=

Sn

2n+1

求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N^*，都有Tn＞

1

4

(m-8)成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（I）∵当n≥2时，2S_nS_n-1=-a_n=S_n-1-S_n
两边同除S_nS_n-1得：2=

1

Sn

-

1

Sn-1

∵a₁=1，
∴

1

S1

=1
即{

1

Sn

}是以1为首项，以2为公差的等差数列
（II）由（I）得

1

Sn

=2n-1
即S_n=

1

2n-1

∴bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

（III）令T（x）=

x

2x+1

，则T′（x）=

1

(2x+1)2

则T（x）在[1，+∞）上是增函数，
故当n=1时，T_n取最小值

1

3

若对任意自然数n∈N^*，都有Tn＞

1

4

(m-8)成立
只要T1＞

1

4

(m-8)
即

1

3

＞

1

4

(m-8)
解得m＜

28

3

，
由m∈N^*，
∴m的最大值为9