Question

在直角坐标系xoy中，若角α、β的始边都为x轴的非负半轴，点P(

1

2

，cos2θ)与点Q(sin2θ，-1)分别在α、β的终边上．且

OP

•

OQ

=-

1

2

．
（1）求cos2θ的值；  （2） 求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积坐标运算，以及倍角公式和平方关系进行求解；
（2）由（1）求出的三角函数值求出点P和Q的坐标，进而由三角函数定义求出角α和β三角函数值，代入两角和的正弦公式求解．

解答：解：（1）∵

OP

•

OQ

=-

1

2

，∴

1

2

sin2θ-cos2θ=-

1

2

，（2分）
即

1

2

(1-cos2θ)-cos2θ=-

1

2

，∴cos2θ=

2

3

，（4分）
∴cos2θ=2cos2θ-1=

1

3

．（6分）
（2）由（1）得cos2θ=

2

3

，则sin2θ=

1

3

，
∴点P(

1

2

，

2

3

)，点Q(

1

3

，-1)，（8分）
又点P(

1

2

，

2

3

)在角α的终边上，∴sinα=

4

5

，cosα=

3

5

．
同理sinβ=-

3 10

10

，cosβ=

10

10

，（10分）
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×

10

10

+

3

5

×(-

3 10

10

)=-

10

10

．（12分）

点评：本题是三角函数与向量结合的题目，主要利用向量的坐标表示和三角恒等变换进行求解，考查了灵活利用公式的能力．