题目内容

矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD平面ABEF，如图所示，FD， AD=1， EF=．

   （Ⅰ）证明：AE 平面FCB；

   （Ⅱ）求异面直线BD与AE所成角的余弦值

   （Ⅲ）若M是棱AB的中点，在线段FD上是否存在一点N，使得MN∥平面FCB？

证明你的结论．

（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）见解析


解析:

 (1) 平面ABCD平面ABEF,

且四边形ABCD与ABEF是矩形,

AD平面ABEF,ADAE,

BC∥AD BCAE

又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,

所以四边形ABEF为正方形.AEFB,

又BFBF平面BCF，BC平面BCF

所以AE平面BCF……………………………………………4分

(2)设BFAE=O,取FD的中点为H,连接OH,在 OH//BD,

HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),

在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=

异面直线BD与AE所成的角的余弦值为………………………….8分

(3)当N为FD的中点时, MN∥平面FCB

证明：取CD的中点G,连结NG，MG，MN，

则NG//FC,MG//BC,

又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G

所以平面NGM//平面FBC,

MN平面NGM

MN//平面FBC……………………………………………………………12分

练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆C0：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，a，b为常数），动圆C1：x2+y2=
t
2
1
，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆C2：x2+y2=
t
2
2
与C0相交A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：
t
2
1
+
t
2
2
为定值．
（2012•辽宁）如图，已知椭圆C0：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2+y2=
t
2
1
，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
（I）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（II）设动圆C2：x2+y2=
t
2
2
与C0相交于A'，B'，C'，D'四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：
t
2
1
+
t
2
2
为定值．
如图,矩形ABCD与矩形AB′C′D全等,且所在平面所成的二面角为α,记两个矩形对角线的交点分别为Q,Q′,AB=a,AD=b.

(1)求证:QQ′∥平面ABB′;

(2)当b=2a,且α=时,求异面直线AC与DB′所成的角;

(3)当a＞b,且AC⊥DB′时,求二面角α的余弦值(用a,b表示).

如图，椭圆C：，a，b为常数），动圆，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C的左，右顶点，C1与C相交于A，B，C，D四点．
（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆与C相交A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．
如图，已知椭圆C：，动圆C1：．点A1，A2分别为C的左右顶点，C1与C相交于A，B，C，D四点．
（I）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（II）设动圆C2：与C0相交于A'，B'，C'，D'四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：为定值．

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