Question

【题目】等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.

	第一列	第二列	第三列
第一行	5	8	2
第二行	4	3	12
第三行	16	6	9

（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；

（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析，或；（2）存在，.

【解析】

（1）满足题意有两种组合：①，，，②，，，分别计算即可；

（2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数，使得，，成等比数列，即，解方程是否存在正整数解即可.

（1）由题意可知：有两种组合满足条件：

①，，，此时等差数列，，，

所以其通项公式为.

②，，，此时等差数列，，，

所以其通项公式为.

（2）若选择①，.

则.

若，，成等比数列，则，

即，整理，得，即，

此方程无正整数解，故不存在正整数，使，，成等比数列.

若选则②，，

则，

若，，成等比数列，则，

即，整理得，因为为正整数，所以.

故存在正整数，使，，成等比数列.