Question

9．若变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x-y+3≥0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，目标函数z=2ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值的是6，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值为7+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{2a}{b}$x+$\frac{k}{b}$，
则直线的斜率k=-$\frac{2a}{b}$＜0，截距最大时，z也最大．
平移直y=-$\frac{2a}{b}$+$\frac{k}{b}$，由图象可知当直线y=-$\frac{2a}{b}$+$\frac{k}{b}$经过点A时，
直线y=-$\frac{2a}{b}$+$\frac{k}{b}$截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6=0}\\{x-y+3=0}\end{array}\right.$，解得x=9，y=12
即A（9，12），
此时z=18a+12b=6，
即3a+2b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（3a+2b）=3+4+$\frac{2b}{a}$+$\frac{6a}{b}$
≥7+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{6a}{b}}$=7+4$\sqrt{3}$，当且仅当b=$\sqrt{3}$a时，取等号，
故$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值为7+4$\sqrt{3}$，
故答案为：7+4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点．