Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），（x、y∈R），f（1）=-1．
（1）求f（0）和f（-2）的值；
（2）若f（5）=m，试用m表示f（-5）；
（3）试判断f（x）的奇偶性（要写出推理过程）．

Answer 1

分析：（1）通过x=1，y=0，求出f（0）=0．通过x=1，y=-1时，求出f（-1）=1．然后利用x=-1，y=-1时，求出f（-2）=-2．
（2）由f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），判断函数的奇偶性，通过f（5），求出f（-5）；
（3）直接利用已知表达式，通过y=-x，即可判断函数的奇偶性．

解答：解：（1）当x=1，y=0时，∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），
∴f（1）=f（1）+f（0）+0，
∴f（0）=0．
当x=1，y=-1时，f（0）=f（1）+f（-1）+0，∴f（-1）=1．
当x=-1，y=-1时，f（-2）=f（-1）+f（-1）-4=-2．
即f（-2）=-2．
（2）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），
令y=-x，所以f（x-x）=f（x）+f（-x）+2xy（x-x），
所以f（x）+f（-x）=0
函数是奇函数，
∵f（5）=m，
∴f（-5）=-f（5）=-m．
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），
令y=-x，所以f（x-x）=f（x）+f（-x）+2xy（x-x），
所以f（x）+f（-x）=0．
即f（-x）=-f（x）
函数是奇函数，

点评：本题考查抽函象数的性质和应用，解题时要注意公式f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），（x、y∈R）的灵活运用．