题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，其中
，
，
，等边
所在平面与平面垂直．
（Ⅰ）点
在棱
上，且
，
为
的重心，求证：
平面
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）如图，在棱
上取点
，使得
；连接
并延长，交
于点
．
因为在
中，
，所以
，
又四边形
为平行四边形，所以
，
所以
． -----------------2分
在
中，
为重心，所以
，
又
，所以
．
又
，
，
所以平面
平面
．
又
平面
，所以
平面
． ---------5分
（Ⅱ）在
中，
，
，
，
所以
的面积
．--7分
取
的中点
，连结
、
．
在
中，
，所以
，且
．
又因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面．--------------10分
故三棱锥
的体积
．-------12分
【命题意图】本题考查空间中线面平行的证明、几何体体积的求解，考查基本的空间想象能力和逻辑推理能力、运算能力等．
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