Question

设函数f（n）=k（其中n∈N^*），k是

2

的小数点后第n位数字

2

=1.41421356237…，则

f{f…f[f(8)]}

2010个

的值为

4

．

Answer 1

分析：根据式子的结构特点可得当式子中的个数为3m，m∈N₊ 时，根据周期性得到函数值等于4，而2010=3×670，故所求的式子等于4．

解答：解：f（8）=6，f（f（n））=f（6）=3，
f（f（f（n）））=f（3）=4，
f（f（ f（f（n））） ）=f（4）=2，
f（ f（f（ f（f（n））） ））=f（2）=1，
f（f（ f（f（ f（f（n））） ）） ）=f（1）=4，
f（ f（f（ f（f（ f（f（n））） ）） ））=f（4）=2，
f（f（ f（f（ f（f（ f（f（n））） ）） ）） ）=f（2）=1，…
故当式子中f的个数为3m，m∈N₊ 时，函数值等于4，而 2010=3×670，
∴则要求的式子的值等于4，
故答案为  4．

点评：本题考查利用式子的结构特点求函数的值，得到当式子中f的个数为3m，m∈N₊ 时，看出函数的值是一个周期性变化的值，且看出函数值等于4是解题的关键