Question

已知α、β≠kπ+

π

2

(k∈Z)，且sinθ+cosθ=2sinα ， sinθcosθ=sin2β．求证：

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2β

2(1+tan2β)

．

Answer 1

分析：先左减右并把正切用正弦以及余弦表示出来，整理得到1-2sin²α-

1-2sin 2β

2

；再结合sinθ+cosθ=2sinα以及sinθ•cosθ=sin²β  消去θ即可得到结论．

解答：证明：左减右得：

1-tan 2α

1+tan 2α

-

1-tan 2β

2(1+tan 2β)

=

1- sin 2α cos 2α

1+ sin 2α  cos  2α

-

1- sin 2β cos 2β

2(1+ sin 2β cos 2β )

=cos²α-sin²α-

cos 2β -sin 2β

2

=1-2sin²α-

1-2sin 2β

2

．①
∵sinθ+cosθ=2sinα   ②
sinθ•cosθ=sin²β   ③
∴②²=1+2×③得：4sin²α=1+2sin²β，代入①得：①式等0．
即左边等于右边．
故结论得证．

点评：本题主要考查三角函数恒等式的证明．解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．