Question

已知点，，动点的轨迹曲线满足，，过点的直线交曲线于、两点.
(1)求的值，并写出曲线的方程；
(2)求△面积的最大值.

Answer 1

(1)
(2)△面积的最大值为3，此时直线的方程为. 

试题分析：解：(1)设，在△中，，，根据余弦定理得.                （2分）
即.
.
而，所以. 
所以.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （4分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
又，
因此点的轨迹是以、为焦点的椭圆（点在轴上也符合题意），
，.
所以曲线的方程为.                             　   （6分）
(2)设直线的方程为.
由，消去x并整理得.    ①
显然方程①的,设,,则
由韦达定理得，.                 （9分）
所以.
令，则，.
由于函数在上是增函数.
所以，当，即时取等号.
所以，即的最大值为3.
所以△面积的最大值为3，此时直线的方程为.           （12分）
点评：解决的关键是根据椭圆的定义求解轨迹方程，同时结合直线与椭圆方程来联立方程组来求解最值，属于基础题。