题目内容

已知函数 $数学公式$ ，a∈R， $数学公式$ ．
（1）当a=-2时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）+lnx]•x²，k是g（x）图象上不同的两点的连线的斜率，是否存在实数a，使得k＜1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：f（x）的定义域为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（1）当a=-2时，在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，
故 $\text{[math]}$ ．
（2）存在 $\text{[math]}$ 符合条件．
解法一：据题意在y=g（x）=[f（x）+lnx]•x²=ax³-x图象上总可以找到一点P₀（x₀，y₀）使以p为切点的切线平行图象上的任意两点的连线，
即存在 $\text{[math]}$ 恒成立，
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故存在 $\text{[math]}$ 符合条件．
解法二：g（x）=[f（x）+lnx]•x²=ax³-x，不妨设任意不同两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）其中x₁＜x₂，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由于k＜1恒成立，则k＜ $\text{[math]}$ 恒成立，知 $\text{[math]}$ 恒成立…（12分）
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，分）
故存在 $\text{[math]}$ 符合条件．

（1）当a=-2时，求导函数，确定f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，从而可求f（x）的最大值；
（2）存在 $\text{[math]}$ 符合条件．
解法一：据题意存在 $\text{[math]}$ ，分离参数，可得结论；
解法二：据题意存在 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，分离参数，可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，属于中档题．