Question

如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a，
（1）求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角A-VB-C的大小。

Answer 1

解：（1）∵平面∥平面ABC， ∴， ， ∴， 又∵平面⊥平面ABC，平面∩平面ABC=AC， ∴BC⊥平面， ∴，∴， 又，， ∴B1C1为AB1与A1C1的公垂线。
（2）过A作于D， ∵△为正三角形， ∴D为B1C的中点， ∵BC⊥平面，∴BC⊥AD， 又， ∴AD⊥平面VBC， ∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离， 在正△中，， ∴点A到平面VBC的距离为。 （3）过D点作DH⊥VB于H，连AH，由三重线定理知AH⊥VB， ∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角， 在中，， △B1DH∽△B1BC，， ∴， ∴，∴， 所以，二面角A-VB-C的大小为arctan。