Question

某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB＝20 km，BC＝10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为y km．

(1)按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；

②设OP＝x(km)，将y表示成x的函数关系式；

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

Answer 1

答案：
解析：

本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力． 　　(1)①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO＝θ(rad)，则， 　　故 　　又，所以 　　所求函数关系式为 　　②若OP＝x(km)，则OQ＝10－x，所以 　　所求函数关系式为 　　(2)选择函数模型①， 　　令得 　　当时，y是θ的减函数；当时，y是θ的增函数； 　　所以当时， 　　此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处．