Question

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（Ⅰ）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（Ⅱ）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．

Answer 1

分析：（1）（i）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式．
（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．

解答：解：（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
则OA=

AQ

cosθ

=

10

cosθ

，故OB=

10

cosθ

，又OP=10-10tanθ，
所以y=OA+OB+OP=

10

cosθ

+

10

cosθ

+10-10tanθ，
所求函数关系式为y=

20-10sinθ

cosθ

+10(0≤θ≤

π

4

)
②若OP=x（km），则OQ=10-x，所以OA=OB=

(10-x)2+102

=

x2-20x+200

所求函数关系式为y=x+2

x2-20x+200

(0≤x≤10)

（Ⅱ）选择函数模型①，y′=

-10cosθ•cosθ-(20-10sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

10(2sinθ-1)

cos2θ

令y′=0得sinθ=

1

2

，因为0＜θ＜

π

4

，所以θ=

π

6

，
当θ∈(0，

π

6

)时，y′＜0，y是θ的减函数；当θ∈(

π

6

，

π

4

)时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=

π

6

时，ymin=10+10

3

．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边

10 3

3

km处．

点评：本小题主要考查函数最值的应用．
①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．