Question

在平面直角坐标系中，点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|x≤4，y≥0，3x-4y≥0}，则
①点集P={（x，y）|x=x₁+3，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}所表示的区域的面积为

π

；
②点集Q={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为

18+π

．

Answer 1

分析：①把x=x₁+3，y=y₁+1，中的x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得点集P的轨迹方程，然后求出点集P所表示的区域的面积．
②类似（1）把x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，中的x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得点集Q的轨迹方程，然后求出点Q所表示的区域的面积．

解答：解：①由x=x₁+3，y=y₁+1，得x₁=x-3，y₁=y-1，
∵（x₁，y₁）∈A，代入x²+y²≤1，
∴（x-3）²+（y-1）²≤1，
点集P={（x，y）|x=x₁+3，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}
所表示的区域是：以（3，1）为圆心、以1为半径的圆，其面积是 π．
②由x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，得x₁=x-x₂，y₁=y-y₂，
∵（x₁，y₁）∈A，
∴把x₁=x-x₂，y₁=y-y₂，代入x²+y²≤1，
∴（x-x₂）²+（y-y₂）²≤1
点集Q所表示的区域是以集合B={（x，y）|x≤4，y≥0，，3x-4y≥0}，
的区域的边界为圆心轨迹半径为1 的圆内部分，如图
其面积为：5+6+4+3+π=18+π
故答案为：①π    ②18+π

点评：本题考查二元一次不等式组与平面区域的关系问题和学生的作图能力，，本题实质是考查线性规划问题，解题的过程中用到了转化的数学思想，是一道难题；