Question

在△ABC中，已知A=45°，cosB=

4

5

．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若BC=10，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后根据三角形的内角和定理得到所求式子中C等于180°-A-B，而A=45°，得到C=135°-B，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinB和cosB的值代入即可求出值；
（Ⅱ）根据正弦定理，由BC，sinA和（Ⅰ）中求得的sinC，即可求出AB的长度，然后利用三角形的面积公式，由sinB，AB和BC的值即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵cosB=

4

5

，且B∈（0°，180°），
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

．
sinC=sin（180°-A-B）=sin（135°-B）
=sin135°cosB-cos135°sinB=

2

2

•

4

5

-(-

2

2

)•

3

5

=

7 2

10

；
（Ⅱ）由正弦定理得

BC

sinA

=

AB

sinC

，即

10

2 2

=

AB

7 10 2

，解得AB=14．
则△ABC的面积S=

1

2

|AB||BC|sinB=

1

2

×10×14×

3

5

=42．

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、正弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道基础题．