Question

若函数f（x）=a²sin2x+（a-2）cos2x的图象关于直线x=-

π

8

对称，则f（x）的最大值为（　　）

• A．2
• B．

  2

  或4

  2

• C．4

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：先根据函数f（x）=a²sin2x+（a-2）cos2x的图象关于直线x=-

π

8

，可得x=-

π

8

时，函数取得最值，从而可建立方程，进而可求a的值，由此可求函数f（x）的最大值．

解答：解：∵函数f（x）=a²sin2x+（a-2）cos2x的图象关于直线x=-

π

8

对称，
∴x=-

π

8

时，函数取得最值
∴a²sin（-

π

4

）+（a-2）cos（-

π

4

）=

a4+(a-2)2

或a²sin（-

π

4

）+（a-2）cos（-

π

4

）=-

a4+(a-2)2

∴

1

2

[a2+(a-2)]2=a4+(a-2)2
∴a²+a-2=0
∴a=1或a=-2
当a=1时，f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），∴f（x）的最大值为

2

；
当a=-2时，f（x）=4sin2x-4cos2x=4

2

sin（2x-

π

4

），∴f（x）的最大值为4

2

；
故选B．

点评：本题以函数的性质为载体，考查三角函数性质的运用，考查三角函数的最值，属于基础题．