Question

如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．
（Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示成关于θ的函数；
（Ⅱ）求S的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABD中，根据余弦定理可表示BD，根据S=

1

2

absinc可表示出△ABD，△BCD的面积，从而表示出四边形ABCD的面积；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可把四边形面积S化为S=Asin（ωx+φ）+B形式，根据三角函数的有界性可求其最值．

解答：解：（Ⅰ）BD=

12+12-2×1×1cosθ

=

2-2cosθ

，
S△ABD=

1

2

×1×1×sinθ=

1

2

sinθ，
S△BCD=

3

4

×BD2=

3

4

(2-2cosθ)=

3

2

-

3

2

cosθ，
∴SABCD=

1

2

sinθ-

3

2

cosθ+

3

2

（0＜θ＜π）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得SABCD=

1

2

sinθ-

3

2

cosθ+

3

2

=sin(θ-

π

3

)+

3

2

，
∵0＜θ＜π，∴-

π

3

＜θ-

π

3

＜

2π

3

，
当θ-

π

3

=

π

2

时，即θ=

5π

6

时，S有最大值1+

3

2

．

点评：本题考查三角函数最值的求法，考查三角恒等变换知识，考查学生分析解决问题的能力．