Question

已知a=

∫

2 1

1

x2

dx，则(x+

1

x

-4a)3(x≠0)展开式中的常数项为（　　）

A．-20

B．-40

C．20

D．40

Answer 1

分析：根据题意，由定积分的计算公式可得a=

∫

2 1

1

x2

dx=（-

1

x

）|₁²，进而可得a的值，则可将（x+

1

x

-4a）³=（x+

1

x

-2）³=（x+

1

x

-2）×（x+

1

x

-2）×（x+

1

x

-2），分析可得其展开式中常数项的情况，①三个括号中全取-2，②一个括号取x，一个括号取

1

x

，一个括号取-2，分别计算可得其系数，进而将其相加可得答案．

解答：解：根据题意，a=

∫

2 1

1

x2

dx=（-

1

x

）|₁²=（-

1

2

）-（-1）=

1

2

，
则（x+

1

x

-4a）³=（x+

1

x

-2）³=（x+

1

x

-2）×（x+

1

x

-2）×（x+

1

x

-2），
其展开式中常数项的情况有：
①三个括号中全取-2，得（-2）³；
②一个括号取x，一个括号取

1

x

，一个括号取-2，得C₃¹C₂¹（-2）=-12，
则其展开式中常数项为（-2）³+（-12）=-20；
故选A．

点评：本题考查二项式定理的运用，涉及定积分的计算，解题的关键是求出a的值．