题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且 $数学公式$ ．
（I）求证： $数学公式$ ；
（II）求a_n及S_n；
（III）求证： $数学公式$ ．

解：（ I） $\text{[math]}$ ，（1） $\text{[math]}$ ，（2）（2分）
（2）-（1），得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（3分）
（ II）当n=1时， $\text{[math]}$ ；（4分）
由（ I），得 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ （7分）
将 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．（8分）
（ III）由 $\text{[math]}$ ，则即证 $\text{[math]}$
下证：当n≥4，n∈N^*时，2ⁿ≥n²．
①当n=4时，2⁴=4²，成立；当n=5时，2⁵＞5²，成立；（9分）
②假设当n=k（k≥4，k∈N^*）时，成立，即2^k≥k²，则
当n=k+1时，2^k+1≥2k²，令f（k）=2k²-（k+1）²=k²-2k-1，k≥4，k∈N^*，当k=4时有最小值7，故2k²＞（k+1）²，
∴2^k+1≥（k+1）²，即n=k+1成立；
由①②得结论成立．（11分）
于是， $\text{[math]}$ ．
令k=4，5，6，…，n，各式相加，得 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
两式相加，得 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：分析：（Ⅰ）由S_n推出S_n+1的表达式，两式相减后即得 $\text{[math]}$ ；
（ II）当n=1时， $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）由 $\text{[math]}$ ，则即证 $\text{[math]}$ ，下证：当n≥4，n∈N^*时，2ⁿ≥n²．然后利用数学归纳法法证明结果．
点评：点评：本题考查等比数列的定义，等比数列求和，数学归纳法等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想．