Question

已知函数f（x）=x|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅱ）设0＜a＜2，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分类讨论去掉绝对值，转化为解一元二次不等式组得解集．
（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求出函数f（x）的单调区间及在单调区间上的单调性，
利用函数在此区间上的单调性求出函数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵x|x-2|＜3?

x≥2 x2-2x-3＜0

或

x＜2 x2-2x+3＞0

?2≤x＜3或x＜2，
∴不等式f（x）＜3的解集为{x|x＜3}  （5分）

（Ⅱ）解：f(x)=x|x-2|=

x2-2x=(x-1)2-1，x≥2 -x2+2x=-(x-1)2+1，x＜2.

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调递减区间是[1，2]，（8分）
（1）当0＜a≤1时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时，f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2-a）；
..（11分）
（2）当1＜a＜2时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，
此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1   （14分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，以及利用函数在某区间上的单调性求函数在此区间上的最值，体现分类讨论的数学思想．