题目内容
【题目】已知椭圆
：
（
）的一个焦点
与抛物线
：
的焦点重合，且离心率为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过焦点的直线
与抛物线交于
，
两点，与椭圆交于
，
两点，满足
，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据题意求出
，即可写出椭圆的标准方程.
（2）当直线
不存在斜率时，可求出
四点，可验证
；当直线存在斜率时，设直线方程为
，将直线分别与椭圆
方程、抛物线方程联立，利用弦长公式和焦点弦公式求出
、
，根据
解方程即可.
解：（1）由已知椭圆的离心率
，
，得
，则
，
故椭圆的标准方程为
（2）当直线不存在斜率时，可求出
，
，
，
，
所以
，
，不满足条件；
当直线存在斜率时，设直线方程为，代入椭圆方程得：
，
恒成立，
设
，
，则
∴
将直线：，代入抛物线
得
，
设
，
，则
，
又因为
，
由
得：
，∴
，
解得
，
所以直线的方程为.
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