Question

已知函数f（x）在R上有意义，且满足：（1）f（x）是偶函数；（2）f（3）=999；（3）g（x）=f（x-1）是奇函数，求f（2015）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x-1）是奇函数、f（x）是偶函数，可得f（x）=f（4+x），从而求得f（2015）=f（3），即可得到答案．

解答： 解：∵g（x）=f（x-1）是奇函数，故有f（-x-1）=-f（x-1），即f（-x-1）+f（x-1）=0
又∵f（x）是偶函数，得f（-x-1）=f（x+1），
∴f（x+1）+f（x-1）=0，用x+2代替x，得f（x+3）+f（x+1）=0，
两式对照，可得f（x+3）=f（x-1），即f[（x-1）+4]=f（x-1），
∴f（x+4）=f（x）对任意x∈R恒成立，可得f（x）的最小正周期为4，
∴f（2015）=f（3）=999．

点评：本题综合考查抽象的函数奇偶性、周期性的应用，属于基础题．