Question

三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求棱柱的侧面积和体积.

Answer 1

解析：如图，过A₁作A₁O⊥底面ABC交底面于O，过A₁作A₁E⊥AB交AB于E，过A₁作A₁F⊥AC交AC于F，连结EO、FO，由三垂线定理得EO⊥AB,FO⊥AC.?

 

∵AA₁和AB与AC都成60°角，?

∴△A₁AE≌△A₁AF.∴A₁E=A₁F.?

∵A₁O⊥底面ABC，∴EO=FO.?

∴点O在∠BAC的角平分线上.?

延长AO交BC于点D，?

∵△ABC是正三角形，∴BC⊥AD.∴BC⊥AA₁.?

∵AA₁∥BB₁,∴侧面BB₁C₁C是矩形.?

∴三棱柱的侧面积为?

S=2××3×4×sin60°+3×4=12+.?

∵AA₁=3,AA₁和AB与AC都成60°角，∴AE=.?

∵∠BAO=30°,∴AO=,A₁O=.?

∴三棱柱的体积为.