Question

已知椭圆方程为，斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+1，由可得（k²+2）x²+2kx-1=0．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，．可得．由此能求出m的取值范围．
（Ⅱ）设椭圆上焦点为F，则=，所以△MPQ的面积为（）．由此能求出△MPQ的面积的最大值．
解答：解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+1，由可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，．
可得．…（3分）
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为，
由题意有k_MN•k=-1，可得．可得m=，
又k≠0，所以．…（6分）
（Ⅱ）设椭圆上焦点为F，
则=…（9分）
所以△MPQ的面积为（）．
设f（m）=m（1-m）³，则f'（m）=（1-m）²（1-4m）．
可知f（m）在区间单调递增，在区间单调递减．
所以，当时，f（m）=m（1-m）³有最大值．
所以，当时，△MPQ的面积有最大值．…（12分）
点评：本题考查m的取值范围和求△MPQ面积的最大值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．