Question

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k＞0）令f(k)=

a

•

b

（1）求f(k)=

a

•

b

（用k表示）；
（2）当k＞0时，f(k)≥x2-2tx-

1

2

对任意的t∈[-1，1]恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接利用|

a

|=|

b

|=1，结合|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|两边平方整理即可得到结论；
（2）当 k＞0时，先根据基本不等式求出f（k）的最小值，再把所求问题转化为g（t）=-2xt+x²-1＜0对任意的t∈[-1，1]恒成立，最后结合一次函数的知识即可得到实数x的取值范围．

解答：解：（1）由|

a

|=|

b

|=1，|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|k2

a

2+b2+2k

a

•

b

=3(

a

2-2k

a

•

b

+k2

b

2)
整理得

a

•

b

=

k2+1

4k

∴f（k）=

k2+1

4k

（k＞0）…（4分）
（2）当 k＞0时f（k）=

1

4

(k+

1

k

)≥

1

4

•2

k• 1 k

=

1

2

（当且当k=1时等号成立）…（6分）
∴当 k＞0时f（k）≥x2-2tx-

1

2

对任意的t∈[-1，1]恒成立
即

1

2

≥x2-2tx-

1

2

亦即x²-2tx-1≤1对任意的t∈[-1，1]恒成立…（8分）
而x²-2tx-1=-2xt+x²-1=g（t）
∴g（t）=-2xt+x²-1＜0对任意的t∈[-1，1]恒成立
由一次函数的性质可得

g(-1)=2x+x2-1≤0→-1- 2 ≤x≤-1+ 2 g(1)=-2x+x2-1≤0→1- 2 ≤x≤1+ 2

…（10分）
∴1-

2

≤x≤

2

-1
∴实数的取值范围为[1-

2

，

2

-1]

点评：本题主要考查平面向量的基本运算性质，数量积的运算性质，等价转化思想，以及恒成立问题和基本不等式的运用．是对知识的综合考查，属于中档题目．