Question

【题目】已知直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l与圆C交于A，B两点．

(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；

(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.

【解析】

（1）圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程代入圆C的的直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义，即可求解；

（2）要求△ABP的面积的最大值，只需求出点P到直线l距离的最大值，将点P坐标设为圆方程的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性，即可求解.

(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2－4x＝0，

所以圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.

设A，B对应的参数分别为t1，t2.

将直线l的参数方程代入圆C：

(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋t＝0，

解得t1＝0，t2＝－.

所以直线l被圆C截得的弦AB的长为|t1－t2|＝.

(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－4＝0.

圆C的参数方程为 (θ为参数)，

可设圆C上的动点P(2＋2cos θ，2sin θ)，

则点P到直线l的距离

d＝，

当＝－1时，d取得最大值，且d的最大值为2＋.

所以S△ABP＝××(2＋)＝2＋，

即△ABP的面积的最大值为2＋.