Question

设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点,l是经过原点与点(1,b)的直线.记Q是直线l与抛物线x²=2py(p≠0)的异于原点的交点.

(1)已知a=1,b=2,p=2,求点Q的坐标;

(2)已知点P(a,b)(ab≠0)在椭圆+y²=1上,p=,求证:点Q落在双曲线4x²-4y²=1上;

(3)已知动点P(a,b)满足ab≠0,p=,若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上,试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由.

Answer 1

答案: (1)解:当a=1,b=2,p=2时,

解方程组

即点Q的坐标为(8,16).

(2)证明:由方程组

即点Q的坐标为(,),     

∵P是椭圆上的点,即+b²=1,

∴4()²-4()²=(1-b²)=1.

因此点Q落在双曲线4x²-4y²=1上.     

(3)解:设Q所在的抛物线方程为y²=2q(x-c),q≠0,

将Q(,)代入方程,得=2q(-c),即b²=2qa-2qca².     

当qc=0时,b²=2qa,此时点P的轨迹落在抛物线上;

当qc=时,(a)²+b²=,此时点P的轨迹落在圆上;

当qc＞0且qc≠时,=1,此时点P的轨迹落在椭圆上;

当qc＜0时,=1,此时点P的轨迹落在双曲线上.