Question

函数f(x)＝－x²＋ax²＋bx＋c图像上在点处的切线方程为y＝－3x＋1．(1)若函数f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；(2)函数f(x)在区间[－2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(x)＝－3x2＋2ax＋b，(2分) 　　∵在x＝1处的切线斜率为－3，∴(1)＝－3＋2a＋b＝－3，即2a＋b＝0，① 　　又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1．　　②　　　　(4分) 　　(1)函数在x＝－2时有极值，所以(－2)＝－12－4a＋b＝0，　　③ 　　解①②③得a＝－2，b＝4，c＝－3，所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3．　　　　(8分) 　　(2)∵在区间[－2，0]上单调递增，∴导函数(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2，0]上的值恒大于或等于零， 　　则　　　　(11分) 　　得b≥4，所以实数的取值范围为[4，＋∞)．　　　　(14分)