题目内容
已知向量
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ）．
（1）当α=
，β=-
时，求
•
的值．
（2）已知
•
=
，cosα=
，0＜β＜α＜
，求sinβ的值．
| a |
| b |
（1）当α=
| 5π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| a |
| b |
（2）已知
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 7 |
| π |
| 2 |
分析：（1）化简
•
的解析式为
，再把条件代入运算求得结果．
（2）根据αβ的范围以及
•
=
求得cos（α-β）=
，从而求得sin(α-β)=
，根据sinβ=sin[α-（α-β）]，利用两角差的正弦公式求得sinβ的值．
| a |
| b |
|
（2）根据αβ的范围以及
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
解答：解：（1）当α=
，β=-
时，
=cos[
-(-
)]=-sin
=-
． …..（4分）
（2）因为：0＜β＜α＜
，∴0＜α-β＜
，
•
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=
，
所以，sin(α-β)=
=
，（6分）
因为 cosα=
，0＜α＜
，∴sinα=
=
．（8分）
故 sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）…（10分）
=
•
-
•
=
．…..（12分）
| 5π |
| 6 |
| π |
| 2 |
|
=cos[
|
| π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
（2）因为：0＜β＜α＜
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
所以，sin(α-β)=
| 1-cos2(α-β) |
2
| ||
| 3 |
因为 cosα=
| 1 |
| 7 |
| π |
| 2 |
| 1-sin2α |
4
| ||
| 7 |
故 sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）…（10分）
=
4
| ||
| 7 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 7 |
2
| ||
| 3 |
4
| ||||
| 21 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，本题主要考查两角和的正弦公式以及角三角函数的基本关系，属于中档题．
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