Question

已知A、B、C三点的坐标分别为A（-sin

x

2

，sin

x

2

)，B（sin

x

2

，-2cos

x

2

)，C（cos

x

2

，0）．
（Ⅰ）求向量

AC

和向量

BC

的坐标；
（Ⅱ）设f(x)=

AC

•

BC

，求f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）求当x∈[

π

12

，

5π

6

]时，f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）求向量的坐标，要首先向量两端点的坐标，再根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标求解．
（2）由（1）的结论，结合向量数量积的运算公式，易得f（x）的解析式，将其化为正弦型函数（或余弦型函数），再利用三角函数求周期的方法即可解答．
（3）由（2）中的函数解析式，结合x∈[

π

12

，

5π

6

]，根据三角函数的性质即可求出f（x）的最大值及最小值

解答：解：（Ⅰ）

AC

=(cos

x

2

+sin

x

2

，-sin

x

2

)，

BC

=(cos

x

2

-sin

x

2

，2cos

x

2

)．
（Ⅱ）∵f(x)=

AC

•

BC

=(cos

x

2

+sin

x

2

)•(cos

x

2

-sin

x

2

)+(-sin

x

2

)•2cos

x

2

=cos2

x

2

-sin2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=cosx-sinx
=

2

(cosx•

2

2

-sinx•

2

2

)
=

2

cos(x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期T=2π．
（Ⅲ）∵

π

12

≤x≤

5π

6

，∴

π

3

≤x+

π

4

≤

13π

12

．
∴当x+

π

4

=π，即x=

3π

4

时，f（x）有最小值-

2

，
当x+

π

4

=

π

3

，即x=

π

12

时，f（x）有最大值

2

2

．

点评：要求三角函数的周期和最值，我们一般要将函数的解析式化为正弦型（或余弦型 ）的形式，再根据T=

2π

|ω|

，y_max=|A|，y_min=-|A|，进行解答，如果自变量的取值范围受到限制，要根据限制条件进行讨论．