Question

已知椭圆

x2

m

+

y2

n

=1与双曲线

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF₁|•|PF₂|=

m-p

．

Answer 1

分析：先椭圆

x2

m

+

y2

n

=1与双曲线

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，得到m-n=p+q；再根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF₁|与|PF₂|的表达式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．

解答：解：因为椭圆

x2

m

+

y2

n

=1与双曲线

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，
所以有：m-n=p+q；
设P在双曲线的右支上，左右焦点F₁、F₂：
利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2

m

①
|PF₁|-|PF₂|=2

p

②
由①②得：|PF₁|=

m

+

p

，|PF₂|=m

m

-

p

．
∴|PF₁|•|PF₂|=m-p．
故答案为：m-p．

点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆

x2

m

+

y2

n

=1与双曲线

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，得到m-n=p+q，属中档题．