题目内容
[2012·浙江卷] 如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝
，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．
(1)证明：(i)EF∥A1D1；
(ii)BA1⊥平面B1C1EF；
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．
图1－5
解：(1)证明：(ⅰ)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面A1D1DA，所以C1B1∥平面A1D1DA，
又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，
所以C1B1∥EF，
所以A1D1∥EF.
(ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥B1C1.
又因为B1C1⊥B1A1，
所以B1C1⊥平面ABB1A1，
所以B1C1⊥BA1.
在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝
，
即∠A1B1F＝∠AA1B，
故BA1⊥B1F，
所以BA1⊥平面B1C1EF.
(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.
由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角．
在矩形AA1B1B中，AB＝，AA1＝2，得BH＝
.
在直角△BHC1中，BC1＝2
，BH＝，得
sin∠BC1H＝
＝
，
所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.
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