Question

11．已知函数f（x）=ln（1+ax）-$\frac{bx}{x+b}$．
（1）当a=1，b≥2时，求f（x）的单调区间；
（2）当b=2，a∈（$\frac{3}{4}$，1）时，若f（x）存在的两个极值点x₁，x₂，求f（x₁）+f（x₂）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，利用导数的正负求得单调区间；
（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+$\frac{2}{t}$-2，运用导数，判断单调性，即可得到结论．

解答 解：（1）当a=1时，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{{b}^{2}}{（x+b）^{2}}$=$\frac{x（x+2b-{b}^{2}）}{（1+x）（x+b）^{2}}$，
∵b≥2，∴f′（x）＞0，可得-1＜x＜0或x＞b²-2b；f′（x）＜0，可得0＜x＜b²-2b，
∴函数的单调增区间为（-1，0），（b²-2b，+∞）；单调减区间为（0，b²-2b）；
（2）f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$（a∈（$\frac{3}{4}$，1）），
f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-4（1-a）}{（1+ax）（x+2）^{2}}$，
ax²-4（1-a）=0，解得x=±$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，
f（x₁）+f（x₂）=ln[1+2$\sqrt{a（1-a）}$]+ln[1-2$\sqrt{a（1-a）}$]-$\frac{4\sqrt{1-a}}{2\sqrt{1-a}+2\sqrt{a}}$-$\frac{-4\sqrt{1-a}}{-2\sqrt{1-a}+2\sqrt{a}}$ 
即f（x₁）+f（x₂）=ln[（1-2a）²]+$\frac{2}{2a-1}$-2                 
设t=2a-1，当$\frac{3}{4}$＜a＜1，$\frac{1}{2}$＜t＜1，则设f（x₁）+f（x₂）=g（t）=lnt²+$\frac{2}{t}$-2，
当$\frac{1}{2}$＜t＜1时，g（t）=2lnt+$\frac{2}{t}$-2，g′（t）=$\frac{2（t-1）}{{t}^{2}}$＜0
g（t）在$\frac{1}{2}$＜t＜1上递减，g（$\frac{1}{2}$）＞g（t）＞g（1）=0，即-2ln2+2＞f（x₁）+f（x₂）＞0．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查构造函数，运用导数判断单调性，运用单调性比较大小，属于中档题．