Question

（本题满分12分）
如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于两点A，B。
（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求的面积S的最大值；
（3）设P是抛物线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）

Answer 1

（1）
（2）
（3）证明见解析。

解析解：设
（1）由条件知直线
由消去y，得                             …………1分
由题意，判别式（不写，不扣分）
由韦达定理，
由抛物线的定义，
从而所求抛物的方程为                          …………3分
（2）设。由（1）易求得
则                                                    …………4分
点C到直线的距离
将原点O（0，0）的坐标代入直线的左边，
得
而点C与原点O们于直线的同侧，由线性规划的知识知
因此                                                             …………6分
由（1），|AB|=4p。


由
知当     …………8分
（3）由（2），易得
设。
将代入直线PA的方程
得
同理直线PB的方程为
将代入直线PA，PB的方程得
                                            …………10分



                                                         …………12分