Question

（2012•江西模拟）设不在y轴负半轴的动点P到F（0，1）的距离比到x轴的距离大1．
（1）求P的轨迹M的方程；
（2）过F作一条直线l交轨迹M于A、B两点，过A，B做切线交于N点，再过A、B作y=-1的垂线，垂足为C，D，若S_△ACN+S_△ANB=2S_△BDN，求此时点N的坐标．

Answer 1

分析：（1）设动点P的坐标为（x，y），由|PF|=|y|+1，知

x2+(y-1)2

=|y|+1，由此能求出P的轨迹M的方程．
（2）设直线l的方程为为y=kx+1，由

x2=4y y=kx+1

，知x²-4kx-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，由x²=4y，知过A的切线方程y-

x 2 1

4

=

x1

2

（x-x₁），同理过B的切线方程为：y-

x2

4

=

x2

2

（x-x₂），由此能求出S_△ACN+S_△ANB=2S_△BDN时点N的坐标．

解答：解：（1）设动点P的坐标为（x，y），
∵|PF|=|y|+1，
∴

x2+(y-1)2

=|y|+1，
整理，得x²=4y，
∴P的轨迹M的方程是x²=4y．
（2）由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为为y=kx+1，
∵

x2=4y y=kx+1

，
∴x²-4kx-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
∵x²=4y，∴y′=

x

2

，
∴y′|x-x1=

x1

2

，y′|x-x2=

x2

2

，
∴过A的切线方程y-

x 2 1

4

=

x1

2

（x-x₁），
同理过B的切线方程为：y-

x2

4

=

x2

2

（x-x₂）…（6分）
设N点坐标为（a，b），
则x₁，x₂是方程x²-2ax+4b=0的两根，
∴x₁+x₂=2a=4k，x₁•x₂=-4，
∴b=-1．…（8分）
由（1）知x₁+x₂=4k，所以N为线段CD的中点，
取线段AB的中点E，
∵F是抛物线的焦点，
∴AF=AC，BF=BD，∴AC+BD=AB，
∴S_△ANB=S_△ANE+S_△BNE
=

1

2

EN•CN+

1

2

EN•DN=

1

2

EN•(CN+DN)
=EN•CN=

AC+BD

2

•CN=

AB•CN

2

，
∵S△ACN=

AC•CN

2

=

AF•CN

2

，
S△BDN=

BD•DN

2

=

BF•CN

2

，
∴S_△ACN+S_△ANB=2S_△BDN

AF•CN

2

+

AB•CN

2

=2•

BF•CN

2

，
∴2BF=AF+AB…（11分）
即2（x₂-0）=（0-x₁）+（x₂-x₁），
所以x₂-2x₁=2x₂，x₂=-2x₁，
∴x1•x2=-2x12=-4⇒x1=±

2

，
当x1=

2

时，x₂=-2

2

，a=-

2

2

，
当x1=-

2

时，x₂=2

2

，a=

2

2

，
∴所求点N的坐标为(±

2

2

，-1)．…（13分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．